＃＃＃ 피타고라스 정리의 비밀

수학 문명 다큐멘터리

삼각형을 통해 인류 문명과 인식의 발전사를 짚어보는 최초의 수학 다큐멘터리!
수천년간 인류를 발전시켰던 문명 속에는 삼각형으로부터 시작된 삶의 지혜가 들어있다. 피타고라스의 정리를 통해 수학이 인류 문명의 발전에 끼친 영향과 그 가능성의 세계를 짚어본다.


1.삼각형의 흔적
전설의 수학자 피타고라스가 태어난 곳으로 알려진 그리스 사모스 섬에는 2500년 전에 물길을 끌어들이기 위해 일직선으로 방향을 정하고 양쪽 방향에서 파고 들어가 완성시킨 인류 최초의 터널이 있다.
특별한 장비도 없었던 당시, 양쪽 방향에서 터널을 뚫을 때 이용했다는 직각삼각형의 닮음꼴 성질.
과연 고대인들은 직각삼각형에 대한 어떤 지식을 가지고 있었던 것일까?


2. a²+b²=c²
바빌로니아에 의해 만들어진 플림튼 322 점토판 조각에 새겨져 있는 수의 비밀은 직각삼각형의 세 변의 길이를 나타내는 수였다. 우리가 피타고라스의 정리라고 알고 있는 직각삼각형의 성질을 3700년 전 바빌로니아 사람들은 이미 알고 있었던 셈이다.
피타고라스가 태어나기 천년 전부터 알려진 이 정리를 우리는 왜 피타고라스의 정리라고 부르는 것일까?!


3. 지구 위의 딱정벌레
우리나라에 큰 직각삼각형을 그렸으나 피타고라스의 정리는 적용되지 않았다. 국내뿐 아니라 다른 나라를 거쳐 만들어진 더 큰 직각삼각형 또한 마찬가지였다.
그 이유는 무엇일까?
수학자들에게 가장 완벽하고 아름다운 공식으로 알려진 피타고라스의 정리는 수학 역사상 가장 위대한 발견이었다. 그러나 피타고라스의 정리는 평평한 공간에 적용될 뿐 지구의 표면과 같은 곡면에서는 맞지 않았다.
피타고라스의 정리에 위기가 찾아왔다?!



＃＃＃ 수학 대기획 Ⅱ 시즌 2 (할인판)

수학을 통해 생명 현상의 법칙을 설명한다!

무늬가 있는 동물은 왜 서로 다른 패턴을 가지는 것일까? 무늬를 생성하는 원리가 존재하고, 그 속에도 수학적 법칙은 숨어있는 것일까? 생명현상에 관련된 근원적인 질문은 과학으로 풀 수 없다는 인식이 오랫동안 인류를 지배해왔다. 가장 불확실하고 광범위한 영역으로 여겨졌기 때문이다. 그러나 최근 과학계에서는 생명현상을 하나의 법칙으로 설명하고자 하는 일련의 도전들이 시작되었다. 그리고 해결의 마지막 열쇠는 수학이 쥐고 있다. 본 프로그램에서는 생명계의 비밀을 단 하나의 법칙으로 풀어내고자 하는 수학계의 도전을 다뤄 수학이 가진 상상력이 생명의 근원과 관련된 질문에 어떻게 답하는가를 추적해본다.


1. 치타가 삼킨 방정식
치타처럼 점무늬 몸을 가진 동물은 줄무늬 꼬리를 가질 수 있다. 하지만 얼룩말처럼 줄무늬 몸을 가진 동물은 절대 점무늬 꼬리를 가질 수 없다. 이와 같은 명제는 모든 동물이 어떻게 각각의 무늬를 가지게 되었는가에 대한 해답의 출발점이 되었다. 세계 석학들의 밀도 높은 인터뷰와 아프리카 현지 촬영을 통해 패턴의 비밀을 생생하게 전달하며, 동물의 무늬가 형성되는 과정을 수학에서는 어떻게 설명하는가에 대해 알아본다.

- 찰스 다윈의 '자연선택'
영국의 왕립학회 지하 서고에 오랫동안 보관되어 온 한 권의 책에서는 생명의 디자인에 대한 단서를 찾을 수 있다. 150년 전 출간된 이 책은 생명이 어떻게 지금의 모습을 갖추게 되었는지를 놀라운 직관력과 증거로 제시하고 있다. 제4장 '자연선택'에서는 동물의 무늬 형성에 관한 단초를 찾을 수 있다. 동물의 무늬는 자연이 스스로 선택한 무늬로, 치타의 점무늬 또한 자연이 선택한 것이다.

-화학물질의 확산과 반응
동물의 무늬가 생성되는 과정을 방정식으로 풀이하고자 한 '제임스 머레이' 교수는 동물의 무늬가 화학물질의 반응으로 만들어진다는 것을 알아낸다. 그것은 오래전 튜링의 논문에서 아이디어를 얻은 것이었다. 20세기 가장 위대한 수학자 중 한 명인 튜링은 동물이 어미 뱃속에 있을 때 태아의 표면에 화학물질이 돌아다니는데 이런 화학물질이 서로 반응하고 확산하면서 무늬를 만들어낸다고 생각했다. 확산과 반응에 관한 튜링의 이론은 화학실험으로 증명되었고, 머레이는 그것이 실제 동물의 이론에 적용될 수 있다는 가능성을 보여주었다.

- 동물의 무늬 생성과정
무늬가 생성되는 시기는 동물마다 다르다. 얼룩말의 무늬는 태아가 작을 때 생성되는 반면 치타의 무늬는 태아가 클 때 생성된다. 꼬리의 크기도 마찬가지이다. 무늬는 화학물질의 반응으로 생성된다. 면적이 넓은 치타의 꼬리는 많은 반응을 담아내지만, 얼룩말의 꼬리는 작고 가늘어 하나의 반응도 담지 못한다. 어떻게 화학물질이 마치 살아있는 것처럼 움직여 일련의 패턴을 만들어내는 것일까? 생명 안에서 이루어지는 화학물질의 현상에 대해 알아본다.


2. 크기의 법칙
쥐의 평균 수명은 2~4년이고, 코끼리는 60~70년이다. 그러나 수명에 심박수를 곱하면 두 동물의 평생 심박수는 15억 번으로 동일하고 모든 포유류가 같은 심박수를 갖는다. 복잡한 생명계에서 유일한 법칙이라 일컬어지는 크기의 법칙에는 서로 다른 동물들이 평생 같은 심박수를 갖는다는 놀라운 법칙이 담겨 있다. 이것은 생명이 하나의 원리 아래 움직인다는 증거이다. 생로병사와 관계해 동물들이 공유하는 법칙을 찾아본다.

- 동물의 크기와 심장박동수의 법칙
모든 포유류의 심장박동수는 크기에 맞춰 일정한 비율을 가진다는 법칙이 있다. 모든 포유류는 체중의 1/4 제곱에 비례해 심장이 뛰어 체중이 10배 커지면 심장은 2배 천천히 뛰고, 크기에 맞춰 호흡수나 혈액 순환 시간, 수명, 대동맥의 굵기 등은 일정한 비율을 가지고 있다. 쥐에서 코끼리까지 이것은 모든 포유류에게 적용되는 법칙이다.

- 심리적인 시간의 개념
인간을 포함한 모든 동물은 같은 공간에 있어도 같은 시간을 느끼는 것은 아니다. 학자들은 심리적인 시간의 개념을 크기와 심장박동의 관계에서 찾는다. 몸의 크기와 심장박동수가 다르면 몸 안의 생체시계도 서로 다르게 흘러간다. 생쥐처럼 작은 동물은 심장박동수와 호흡이 빠르게 움직이고 빨리 크고 빨리 죽어 시간이 빠른 반면, 코끼리처럼 큰 동물은 뭐든지 느리다. 이처럼 크기와 심장박동은 모든 포유류를 연결하는 법칙이다.

- 수명의 법칙
현대 수학이 밝혀낸 동물들의 수명의 법칙. 동물의 크기가 커질수록 수명도 일정한 비율로 늘어난다. 심장박동수와는 반대되는 기울기로 이를 곱하면 일정한 기울기가 나오고 이것은 숫자로 나타낼 수 있다. 모든 포유류가 공유하는 심장박동수 15억이 바로 그것이다.

-프랙탈
인간과 동물, 그리고 식물의 속성을 규정하는 프랙탈. 프랙탈은 자연계에서 개념을 가져온 수학이론으로 프랙탈 구조는 복잡한 차원을 갖는다. 우리 몸 안의 혈관 역시 확대를 하더라도 닮은꼴의 프랙탈 구조이다. 혈관의 이 프랙탈 차원이 생명계의 많은 그래프와 깊은 관계를 맺고 있다. 그리고 이 혈관 구조의 모습은 인간뿐만 아니라 모든 포유류가 공유하고 있으며, 동물의 크기에 관계없이 일정한 법칙 아래 존재하는 생명현상이다.


3. 사라진 천재 수학자
21세기의 시작을 알린 2000년. 미국의 클레이 수학 연구소에서는 새로운 밀레니엄을 맞아 현대에 이르기까지 오래도록 풀리지 않는 수학 문제 중 수학과 과학의 발전에 중요한 단서가 될 7개의 문제를 뽑아 '밀레니엄 난제'로 선정했다. 이 문제를 푸는 사람에게 100만 달러의 상금을 걸었고, 마침내 7대 난제 중 하나인 '푸앵카레의 추측'이 한 수학자에 의해 증명된다. 이후 그는 수학계의 노벨상으로 불리는 필즈메달의 주인공이 되지만 부와 명예를 뒤로하고 은둔해 버린다. 그는 왜 사라져 버린 것일까? 우주의 모양에 관한 단서를 제공해 준 '푸앵카레의 추측'과 이를 해결한 수학자를 찾아가는 과정을 통해 우주에 관한 지식을 얻기 위해 기하학이 걸어온 길과 인류지식의 등정의 역사를 알아본다.

- 천재 수학자의 탄생
2002년 11월 수학 전문 저널관인 인터넷의 한 사이트에 밀레니엄 난제 중 하나이자, 3차원 도형의 모양에 관한 문제인 '푸앵카레의 추측'에 관한 짧은 논문 한 편이 올라온다. 세계 수학계를 뒤흔든 그 논문의 주인공은 러시아의 무명 수학자 '그레고리 페렐만'이었다.

- 수학과 우주의 연관관계
고대 이집트 알렉산드리아 도서관은 그리스 수학과 과학, 철학이 집대성된 지식의 보고라 불렸으며 이곳에서 뉴클리드는 당대 최고의 수학책이었던 기하학원론을 남긴다. 탈레스와 피타고라스시대 때부터 계승 발전해 온 수학을 요약한 이 책은 현재까지도 중학교 교과서에 그 내용이 실려 있다. 그러나 불변의 진리라고 믿었던 '평면에서 삼각형의 내각의 합은 180도가 된다'라는 사실에 도전한 수학자 리만은 평면이 아닌 굽은 공간에서 내각의 합이 180도가 아닌 삼각형이 존재할 수 있음을 밝혔다. 리만은 새로운 현대적인 과학과 수학의 가능성을 열었고, 공간을 이해하는 진로를 근본적으로 바꾸어 우주에 대한 우리의 생각을 표현하는데 필요한 수학적 언어를 제공하였다.

- 페렐만의 '푸앵카레의 추측' 증명 방법
페렐만의 증명은 수학계에 큰 파장을 불러 일으켰다. 그 이유는 그가 지금까지 '푸앵카레의 추측'에 도전했던 어떤 수학자들과는 다른 방법으로 난제를 풀어냈기 때문이다. 페렐만은 구부러진 우주 공간을 펴는 수학 방정식을 도입해 공간을 늘이고 펴서 둥근 원구의 형태를 만들어 마침내 '푸앵카레의 추측'을 증명하게 된다.



＃＃＃ EBS 문명과 수학 (할인판)

수와 기하를 통해 본 문명의 비밀

- 수학의 재미를 일깨우고, 기초과학의 포문을 열어줄 다큐멘터리
- 문명을 이뤄온 근원이 무엇인가를 돌아보는 시간
- 6개국, 100명의 배우가 인류의 수학사를 현장에서 생생히 재연
- 교수, 연구가 등 대한수학회 회원들의 2년에 걸친 자문

고대 이집트에서 현대 강대국에 이르기까지 문명을 이룩한 국가들의 초석이 무엇인가를 추적했고, 수학에서 그 해답을 찾았다. 문명사를 좇는 것은 수학의 역사를 좇는 것이고, 수학의 역사는 곧 문명사이기 때문이다. 2년에 걸친 기획 조사와 자문, 1년이 넘는 촬영 기간을 통해 이집트, 그리스, 인도를 거쳐 영국, 프랑스, 독일에 이르기까지 고대, 근현대 문명에 숨어 있는 수학의 흔적을 만나본다.


1. 수의 시작
1858년 스코틀랜드의 고고학자 헨리 린드는 이집트 룩소 시장에서 낡은 파피루스 한 장을 구매했다. 수년 뒤 고대 이집트어가 해독되면서 이 파피루스에 담긴 놀라운 내용이 밝혀졌다. 파피루스에는 파라오의 왕국 경영에 필요한 모든 지식이 적혀 있었는데 피라미드 높이를 정하는 법, 토지 측량, 노동자에게 급료를 나눠주는 방법 등 84개의 문항이 그것이었다. 람세스 2세의 장제전에서 도굴당한 무려 3,500년 전 이집트 서기관이 썼던 파피루스 한 장에 의지해 인류 최초의 문명 이집트가 어떻게 왕국을 다스렸으며, 분배와 측량의 기술을 터득했는가를 살펴본다.


2. 원론
미국의 독립선언서와 뉴턴의 프린키피아가 표절한 책이 있다. 바로 그리스의 원론이다. 유클리드는 그리스의 철학과 수학을 집대성해 이 책에 담았다. 원론은 수학의 원론이 아니라, 이후 모든 논리학과 철학, 과학의 원론이 되었다. '점이란 무엇인가?'라는 이 간단한 질문 하나에 피타고라스에서 플라톤, 아리스토텔레스에 이르기까지 온 그리스의 철학자들이 매달린 이유를 알아본다.


3. 신의 숫자
현대 인류가 사용하는 아라비아 숫자는 사실 인도에서 탄생한 것이다. 서기 620년경 천문학자 '브라마굽타'가 발명한 숫자 0은 수학을 무한의 세계로 뻗어 나가게 하였고, 과학이 우주를 상상할 수 있는 힘을 주었다. 종교의 나라, 인도에서 어떻게 인류 최고의 발명품 0이 탄생했는지 그 근원을 추적해 본다.


4. 움직이는 세계, 미적분
17세기 유럽은 한 위대한 수학적 발견에 대한 우선권 논쟁에 휩싸였다. 주인공은 천재 물리학자 뉴턴과 철학자 라이프니츠. 그들이 서로 먼저 발견했다고 주장하는 것은 미적분이었다. 변하는 모든 것을 방정식으로 풀어내어 수학의 재탄생을 가져왔던 미적분을 놓고 벌어진 뉴턴과 라이프니츠의 대결, 과연 승자는 누구일까?


5. 남겨진 문제들
인류에게 남겨진 위대한 수학 문제, '페르마의 마지막 정리'와 '푸앵카레의 추측'을 통해 현대 수학의 지평을 살펴본다.

- 페르마의 마지막 정리
'aⁿ＋ bⁿ= cⁿ(n>2) 이와 같은 식을 만족하는 정수는 없다' 즉 aⁿ＋ bⁿ≠ cⁿ(n>2)인 페르마의 마지막 정리. 300년이 넘도록 풀리지 않았던 이 난제는 수학자 앤드류 와일즈를 통해 증명됐다. '페르마의 마지막 정리'에 관한 내용을 살펴보며 앤드류 와일즈는 이 난제를 어떻게 증명했는지 알아본다.

- 푸앵카레의 추측
세계 7대 수학 난제 중 하나인 '푸앵카레의 추측'은 제시된 지 3년 만에 그레고리 페렐만을 통해 증명됐다. 푸앵카레가 제시한 문제는 '구멍이 없고 닫힌 3차원의 어떤 우주를 다른 모양으로 변형시킬 수 있지 않을까?'로 이해하기조차 어려운 이 문제를 비눗방울과 지하철노선도, 한붓그리기를 통해 쉽게 풀어본다.



＃＃＃ EBS 수학의 위대한 여정

EBS 다큐 프라임

문명과 과학기술의 기반을 이루는 수학의 세계!

많은 수학자는 수학의 활용 없이는 현대 생활이 불가능하다고 한다. 인류의 문명발전은 과학기술을 기반으로 하고 있고, 그 과학기술은 수학을 기반으로 하고 있기 때문이다. 어렵고 복잡한듯하지만, 우리 삶에 꼭 필요한 수학의 원리와 개념을 찾는 여정을 통해 수학자들의 도전과 좌절, 그리고 위대한 업적을 들여다보고 수학을 조금 더 재미있게 이해할 수 있는 계기를 마련해본다.


1. 미스터리, 소수

소수의 규칙성을 찾기 위한 수학자들의 노력!

수와 수학에는 규칙이 있고 그 규칙을 바탕으로 계산해서 답을 얻는다. 그러나 1과 자기 자신을 제외하면 어떤 수로도 나누어지지 않는 수, 소수는 예외다. 더는 쪼개지지 않는 수의 근본인 소수에서는 아무런 규칙을 찾을 수 없다. 고대에서부터 수학자들은 그 규칙을 알아내고자 소수에 매달려 왔지만, 답을 알아내지 못했고 소수는 수수께끼를 간직한 채 멈춰있었다. 그러다가 18세기 독일의 수학자 가우스가 '일정한 범위 안에 얼마나 많은 소수가 있는가'라는 의문을 가지게 되면서 소수의 범위가 커지면 커질수록 오차가 점점 줄어들어 결국 오차가 없어지게 된다는 식인 가우스의 소수추측을 만들었고, 이를 계기로 소수 연구는 더욱 활발해졌다. 그리고 가우스의 제자 리만은 가우스를 통해 배운 내용을 일반화하고 더욱 확장해 제타 함수의 영점이 모두 일직선 상에 있을 것으로 추측한 리만 가설을 제시했다. 리만 가설은 소수에 대한 새로운 지평을 열었고, 현대 수학자들의 가장 큰 숙제가 되었다. 과연 리만 가설이 증명되면 소수의 미스터리 역시 알 수 있는 것일까? 소수의 불규칙성에는 어떤 비밀이 숨어있는 것일까? 인류의 지성이 시작된 이래 수학자들의 중요한 탐구 대상이 되었고, 현대 사회에서 없어서는 안 될 매우 유용한 수단으로 사용되고 있는 마법 같은 소수의 미스터리를 들여다본다.


2. 세상을 바꾸는 힘, 방정식

인류의 역사를 바꾼 방정식의 세계!

인류의 크고 작은 문제를 해결하는 수단이었던 방정식은 인류의 역사를 바꾸고 발전시킨 현장에서 훌륭한 도구로써 큰 활약을 해왔다. 그리고 그 방정식은 현대 사회의 기술로 이어지며 새로운 도전과 시도를 가능하게 하고 있다. 과연 그 이유는 무엇이며, 현대 사회에서 방정식의 가장 중요한 역할인 예측의 힘은 어떻게 생기게 된 것일까? 방정식이 언제부터 사용되었는지 정확히 알 수는 없지만, 기원전부터 수와 계산이 아주 중요하게 사용됐다는 것은 미루어 짐작할 수 있다. 인류는 지금과 방법은 다르지만 방정식을 통해 필요한 값을 얻어 실생활에 활용했고, 끊임없이 방정식을 만들고 풀어왔다. 이후 세계 각 나라에서 다른 모습으로 발전하던 방정식을 미지수 X가 하나로 묶었고, 미지수 X는 방정식의 세계에 큰 변화를 가져왔다. 미지수 X를 처음 사용한 데카르트는 해석기하학이라는 새로운 분야를 열었고, 방정식의 역할은 그전보다 훨씬 더 다양해졌다. 다양한 방정식의 역할은 많은 수학자에게 새로운 시도와 실험을 해볼 기회를 가져다주었고, 독일의 천재 수학자 가우스는 그 기회를 이용해 비유클리드 기하학의 시대를 열었으며 작도불능으로 여겨졌던 정 17각형의 작도를 방정식으로 풀어냈다. 인류의 역사와 함께하며 시대를 바꾼 역사 뒤에 있었다 해도 과언이 아닌 방정식의 수천 년에 걸친 여정을 들여다본다.



＃＃＃ EBS 황금비율의 비밀

EBS 다큐 프라임

진짜 황금비율은 존재하는가?!

오래전부터 인류의 시공간 속에 함께 해왔고, 지금도 우리 곁에 있는 세상에서 가장 아름다운 비례, 황금비율은 건축, 회화, 조각, 인체, 자연계 등 우리를 둘러싼 많은 곳에서 발견됐다고 알려졌다. 하지만 황금비율은 수학의 이론일 뿐, 실재에 적용되는 경우는 극히 드물다는 반론도 있다. 황금비율의 법칙을 맹신하는 사람들과 그것을 반박하는 사람들을 통해 황금비율의 진실을 추적해본다.


1. 숨은 그림 찾기

완벽한 비율의 대명사, 황금비율!

기원전 3세기 그리스 수학자 유클리드는 처음으로 직선을 정의하고, 성질을 밝혀내는 과정에서 외중비라는 절묘한 비례를 발견해냈다. 이후 수많은 과학자의 연구가 더해져 오늘날 황금비율이란 이름으로 정착했으며, 인류가 발견한 가장 완벽한 수학원리로 회자하고 있다. 이것은 황금비율을 정의하기 훨씬 전에 만들어진 쿠푸왕 피라미드와 그보다 2천 년 앞선 바르나의 고대 유물, 수학을 진리의 언어로 숭배했던 그리스 건축에 은밀히 숨어있고, 중세를 거치면서 회화, 조각, 건축 등에 더욱 대담하게 드러나며 동식물의 자연현상에서도 발견되었다. 우리가 아는 수학 정의 중에 이렇게 광범위한 분야를 아우르는 정의가 또 있을까? 상업적으로 성공한 디자인과 로고들 그리고 우리의 공간을 채운 많은 사각형 물건과 신체의 아주 작은 부분, 자연에 존재하는 특별한 무늬와 물리학에 이르기까지 황금비율은 언제 어디서나 모습을 드러낸다. 과연 이것은 수치의 우연일까 아니면 신의 암호일까? 황금비율이 숨어있는 다양한 사례를 살펴본다.


2. 절대적이고 상대적인 진리

맹목적 믿음이 낳은 절대 법칙, 황금비율!

누구나 행복감을 느끼고 의도하지 않아도 선택할 수밖에 없는 비례의 미학, 황금비율. 하지만 세상에 절대적인 것은 없듯이 이에 따른 반론도 있다. 황금비율이 발견된 쿠푸왕의 피라미드를 보고 대부분 사람은 고대 이집트인들도 황금비율을 알았을 것으로 추측한다. 그러나 이집트 학자 잭 조셉슨은 당시 이집트 사람들은 황금비율을 이해할 수 있는 능력이 없었으며 단지 우연이라고 말한다. 과연 무엇이 진실일까? 70개가 넘는 피라미드 중 가장 큰 쿠푸왕 피라미드를 비롯해 여전히 장엄하고 경이로운 파르테논 신전, 레오나르도 다빈치의 다양한 작품들, 살아있는 화석으로 불리는 앵무조개 등 다양한 황금비율의 사례는 교과서에 종종 실리기도 한다. 그렇다면 흔히 우리가 알고 있는 황금비율로 만들어졌다는 것들은 진짜 황금비율이 맞을까? 황금비율에 끝없는 역사와 신비를 부여하고, 그 사례라고 믿었던 것들이 과연 진실이었을까? 대중의 인식 속에 수학 그 이상의 가치를 가지게 된 황금비율의 진실을 살펴본다.