플라톤의 주장에 의하면, 귀족정치는 이기심이 없는 철인통치자에 의한 통치구조이며, 매 세대마다 새로운 철인통치자로 새롭게 정부가 구성되어야 했다. 즉 플라톤의 귀족정치는 인간이 상상할 수 있는 가장 뛰어난 정치제도였다.
하지만 귀족정치에서도 위험은 여전히 도사리고 있었다. 플라톤은 부패가 생길 수 있다는 걸 잘 알았다. …… 언젠가는 가난한 이들이 자신들의 숫자가 부자들의 숫자보다 더 많기에 더 힘이 세다는 걸 깨닫게 되는 날이 올 것이고, 대중은 금권정치가들을 권좌에서 밀어낼 것이다. 그리고 민주주의를 세우게 될 것이다. 하지만 민주주의가 들어선다는 건 절대로 바람직한 결과가 아니었다. …… 이미 나쁠 대로 나빠진 민주주의는 그보다 더 나쁜 형태로 변모할 것이 분명했다. 바로 한 명이 모든 것을 통치하는 독재였다. ---pp.42-43

일단 재판이 시작되면 사형, 유배, 무죄선고, 이 3가지 선택안 중에서 플리니우스를 포함한 대부분의 사람들은 무죄선고를 선호했다. …… 사형이나 유배를 선호하는 의원들은 투표가 치러지면 다수결로 노예들의 무죄석방이 결정될 것임을 예상하고는 힘을 합치기로 결정했다. …… 플리니우스는 불공정하다고 주장했다. …… 즉 유배와 무죄선고가 전혀 다른 결정인 것처럼 사형을 원하는 무리와 유배를 원하는 무리가 힘을 합친다는 것 또한 비합리적이라고 본 것이다. 오히려 유배를 원하는 측은 무죄선고를 원하는 측과 합치는 게 더 자연스러웠다. 왜냐하면 2가지 판결 모두 노예들이 생명을 유지하는 것을 허락한다는 점에서 공통점이 있었기 때문이다. 하지만 그날 원로회장에서 사형을 주장하는 측과 유배를 주장하는 측은 오직 무죄선고를 막겠다는 목적으로 힘을 합쳤다. 그리고 이 목적을 달성하기 위해, 그들은 의견불일치를 뒤로 하고 임시로 통일된 주장을 펼친 것이다. 당시 회의를 주재하던 플리니우스는 이 모습을 보고 경악했다. ---pp.56-57

어느 날 도서관을 순회하던 중 유이의 원고를 발견하게 된다. 카탈로니아 신비주의자의 글은 하나같이 쿠사누스를 사로잡았지만 그중에서도 특히나 파리도서관에서 발견한 글은 쿠사누스에게 큰 영향을 끼치게 된다. 쿠사누스는 유이의 「선거의 기술」에 엄청난 감명을 받았고, 결국 사본을 만들어 집으로 가져가기로 결심한다. 만약 이 일이 벌어지지 않았다면 우리는 유이의 논문에 대해 알지 못했을 것이다. 라몬 유이의 논문 중 현존하는 유일한 사본이 바로 쿠사누스의 사본이기 때문이다. …… 쿠사누스가 쓴 『교회 일치』에서 상당 부분, 즉 36장과 37장은 선거방식에 대한 내용이다. 그리고 쿠사누스가 생각해낸 선거방식은 수도원장이나 주교나 교황을 선출하는 것이 아닌 군주, 즉 신성로마제국의 황제를 선출하는 방법이었다. ---p.101

당시 50세였던 보르다가 과학자로서 두 번째 인생을 시작하게 된 것도 이때였다. …… 1790년에 루이 16세는 측정단위를 통일하기 위한 위원회를 구성했다. 1791년 3월에 발표된 후속 보고서에서 위원회는 길이의 단위를 자오선의 4분의 1을 다시 1,000만으로 나눈 길이로 정의했다. 즉 그 길이는 북극에서 적도까지의 거리의 0.0000001에 해당했다. 따라서 이제 남은 건 자오선의 길이를 재는 것뿐이었다. …… 그러나 프랑스혁명이 일어나면서 연구는 중단되고 만다. 프랑스는 혼란에 휩싸였고 공화정이 설립됐으며, 루이 16세는 재판에 회부되어 사형에 처해졌다. 공포 정치가 프랑스를 뒤덮었고 라부아지에는 처형됐으며, 콩도르세는 자살했거나 살해됐고, 과학아카데미는 폐지됐다. …… 이 모든 과정은 거의 8년이 걸렸다. 1798년 11월 28일, 위원회는 북극에서 적도까지의 거리를 1,000만 분의 1로 나눈 길이가 0.513243트와즈(1toise=1,949m)라고 선언했다. 그리고 오늘날 우리는 이 길이를 1미터라고 부른다. ---pp.132-133

“이 편지를 읽을 때 네 상황이 어떨지는 나도 모르겠구나. 나는 이 편지를 먼 곳에서, 더 이상 내 운명에 연연하지 않은 채, 다만 너와 네 엄마만을 염려하면서 쓴다. 기억할 건 네가 처한 환경이 언제까지 계속될지 모른다는 점이다. 열심히 일하는 습관을 길러라. 그래야만 남의 도움 없이 자급자족할 수 있다. 노동은 네게 필요한 모든 것들을 제공해줄 것이다. 그렇다면 비록 가난할지언정 남에게 의존하는 삶은 피할 수 있을 거다. …… 사랑하는 딸아, 행복을 얻는 가장 좋은 방법 중 하나는 스스로를 존중하는 삶을 살아서 후에 인생을 돌아보면서 부끄러움이나 후회를 느끼지 않는 것이란다. 정직하지 못한 일을 저지르지 않고, 남에게 먼저 허물을 고칠 기회를 주지 않은 채 먼저 죄를 묻지 말거라. …… 만약 타인과의 교제에서 절망보다는 기쁨을, 비통함보다는 위안을 얻고 싶다면, 남에게 관대하고, 특히나 모든 교제의 기쁨을 망쳐놓는 독약과 같은 이기주의를 조심해라.” ---p.161

라플라스의 과반수 요건은 과학아카데미 회원을 선출하는 데에는 크게 문제가 없었다. 하지만 국정을 책임지는 자리라면, 유권자들의 과반수가 동의하는 당선자가 나올 때까지 공석으로 비워둘 수는 없었다. 원칙적으로 과반수 요건은 절반에 1을 더한 유권자들이 한 후보를 선출하기로 동의할 때까지 지속적으로 재선거를 실시해야만 한다는 걸 의미했다. 라플라스는 이럴 경우 투표가 끊임없이 반복될 수 있다는 걸 알았고, 갑자기 이 완고한 수학자는 보다 현실타협적인 주장을 내놓게 된다. 경험에 의하면, 유권자들은 대체로 어서 빨리 선거를 끝내고 싶어 하는 경향이 있기에 결국 빠른 시간 내에 자연스럽게 한 후보를 과반수로 추대하게 된다고 라플라스는 주장했다. 수학법칙을 엄격하게 준수해야 하는 학자의 입에서 나온 주장치고는 설득력이 떨어지는 건 사실이다. 하지만 한편으론 라플라스 같은 위대한 수학자가 필요한 경우에는 엄격한 수학적 원칙을 약간 타협했다는 건 꽤나 흥미롭다. ---pp.179-180

도지슨은 크라이스트처치칼리지 학장의 딸이었던 열한 살 소녀 앨리스 리들에게 반해서 끊임없이 그 소녀와 함께 시간을 보내려 애썼다. 소녀를 좋아하는 도지슨의 노골적인 취향은 거의 1세기 반에 걸쳐 사람들의 의구심을 자아냈다. 그리고 1863년 7월 말의 어느 날, 모든 것을 바꿔놓은 사건이 벌어지게 된다. 하지만 이 책에서는 그 이야기를 깊게 다루지 않겠다. 그 의문에 쌓인 사건에 대해서는 진실은 알려지지 않은 채, 오직 추측만이 존재하기 때문이다. 아무튼 분명한 점은 도지슨과 앨리스가 함께 숲속을 산책하러 나갔다온 후 갑자기 둘의 사이가 완전히 깨졌다는 점이다. 과연 이 운명적인 산책에서 어떤 일이 벌어진 걸까? 그에 대한 답은 자그마치 13권에 걸쳐 자세하게 작성해둔 도지슨의 일기에서도 찾을 수 없다. 어쩌면 오히려 더 의심을 자아낸다고 하는 게 맞는 표현일 수도 있다. 왜냐하면 1863년 7월 27일부터 29일까지의 일기가 찢어진 채 사라졌기 때문이다. ---p.213

1941년 2월 17일, 하원은 의석배정방식을 논의에 부쳤다. 하원 서기는 이전 해에 하원에서 통과시킨 결의안에 의거해서 1월 8일에 H?H방식과 W?W방식에 따라 도출된 2가지 의석배정방식을 상정했다. 만약 하원이 60일 이내에, 즉 3월 9일까지 결론을 내리지 못할 경우, 자동적으로 W?W방식이 발효된다. 따라서 민주당의 입장에서는 맹렬하게 H?H방식을 밀어붙이지 않으면 10년 동안 아칸소주의 일곱 번째 의석을 잃어버리고 만다.
이 논쟁에 불씨를 지핀 사람은 노스캐롤라이나주 출신 의원 J. 바야드 클라크J. Bayard Clark였다. 그는 W?W방식을 선택할 경우, 아칸소주의 인구증가율이 더 빠른데도 불구하고 미시간주에게 오히려 의석을 빼앗긴다고 지적했다.
“고작 수학공식 하나 때문에 의회에서 불평등과 비정의가 벌어지는 걸 결코 좌시할 수는 없습니다.” ---p.265

애로가 불가능성 정리로 사회선택이론에 크게 기여했다면, 괴델은 불완전성 정리를 통해 수학에 크게 기여했다. 애로에 의하면, 몇 가지 공리를 충족하면서 동시에 민주적 절차의 요건을 만족시키는 사회선택 도출 메커니즘은 존재하지 않았다.
이 저명한 논리학자에 대한 유명한 일화가 있다. 이 일화는 우리가 이번 장에서 논의했던 내용과 어느 정도 연관이 있다. 괴델은 제2차 세계대전 때 오스트리아를 떠나 프린스턴고등학문연구소에 몸담게 됐다. 1948년에 괴델은 더 이상 조국으로 돌아가지 않겠다고 결심했고 미국 시민권을 신청했다. 그의 동료학자이자 미국에 귀화한 알베르트 아인슈타인과 오스카어 모르겐슈테른은 세상 물정에 어두운 괴델을 데리고 시민권 면접을 위해 이민국 사무소로 향했다. 아인슈타인과 모르겐슈테른은 이민국으로 향하면서 괴델에게 면접에서 물어볼 미국헌법에 대해 조언을 해줬다. 괴델은 전날 밤에 헌법을 살펴봤고, 미국헌법에 맹점이 있다면서 독재자가 등장할 가능성을 열어뒀다고 말했다. ---p.330

하지만 모두가 이 생각에 동의한 건 아니었다. 군소정당들, 예를 들어 환경당이나 다른 특수정당들은 소외감을 느꼈다. 특히나 연방의회에 오직 몇 개의 의석만을 배출하는 주들은 전혀 정당 비례대표를 배출하지 못할 수도 있었다. 예를 들어, 2000년 인구조사를 토대로 10개 주가 4개 이하의 의석을 배정받았다. 따라서 어느 정도 규모가 되는 정당들도 정당지지자들이 스위스 전역에 퍼져 있다는 이유만으로 비례대표를 배정받지 못해서 의회에서 발언권을 전혀 얻지 못했던 것이다. 당연히 유권자들은 기만당했다고 생각했다. 만약 2개 의석을 배정받은 주가 있다면, 해당 주의 유권자들이 던진 표의 3분의 1은 지지한 정당이 비례대표를 배출하지 못하면서 죽은 표가 될 수 있었다. 따라서 수많은 유권자들이 참정권을 제한 당한 셈이었고, 또는 자신들의 표가 죽은 표가 될 수 있다는 생각에 지지하는 당이 아닌 규모가 큰 당에 표를 던질 가능성이 있었다. ---p.363

승인투표방식의 장점은 유연하다는 것이다. 유권자는 자신이 가장 선호하는 후보가 당선될 가능성이 매우 낮다고 해도 여전히 그 후보에게 표를 던질 수 있고, 나아가 당선될 가능성이 높은 후보에게도 동시에 표를 행사할 수 있다. 따라서 죽은 표가 발생할 일이 없다. 예를 들어, 2000년 미국 대선이 승인투표방식으로 실시됐다면, 랠프 네이더 지지자들은 적합한 대통령감으로 또한 앨 고어 후보에게 표를 던질 수 있었을 것이다. 그렇다면 조지 W. 부시가 아닌 앨 고어가 대통령에 당선됐을 것이고, 그 결과는 미국 국민들의 의사를 보다 정확히 반영했다고 볼 수 있다(사실을 말하자면, 앨 고어는 미국 시민의 과반수 지지를 얻었다. 다만 선거인단제도 때문에 대통령 당선자가 되지 못한 것이다). 나아가 승인투표방식에서는 개인의 진정한 선호를 의도적으로 숨긴다 하더라도, 다시 말해 전략적 투표를 하더라도 아무런 이득이 없다.

<B>다수결의 함정에 빠진 미완의 민주주의! <br/>수학자들이 정치제도를 완성하기 위해 팔을 걷어붙인 이유!</b><br/><br/>대선 때마다 화두로 떠오르는 것이 있다. 바로 ‘후보 단일화’ 문제다. 여러 가지 이유가 있겠지만 그 모든 과정 뒤에는 최소한 3위 이하의 후보들과 압도적인 격차를 벌이는 1위와 2위만을 놓고 투표를 해야만 유권자들의 의사가 온전히 반영된다는 수학적 원리가 숨겨져 있다. 그러나 결선 투표의 승리를 위해 경선 및 후보 단일화 과정을 거치다 보면 미심쩍은 부분이 한두 가지가 아니다. 왜 단일화를 해야만 할까? 우리가 원하는 후보를 그대로 뽑으면 어떤 결과가 나올까? 아쉽게도 투표가 끝난 후에 대선에 나서지 않은 다른 후보들까지 아울러 선호도를 조사해본 적이 없기 때문에 우리가 그 결과를 알 수는 없다.<br/><br/>하지만 이 책에 그 궁금증을 풀어줄 여지가 있어서 다행이다. 저자는 경선을 거쳐서 결선 투표를 하는 선거법에 대해 다루면서 지난 2007년 프랑스 대선에 수행했던 재미있는 연구 결과를 언급한다. 당시 결선투표에서 사르코지가 전체 투표수의 53%를 차지함으로써 루아얄 후보를 손쉽게 따돌리고 프랑스 대통령으로 당선됐다. 하지만 과연 사르코지가 프랑스 국민들이 가장 선호하는 후보라고 할 수 있을까? 선거법을 연구하는 밸린스와 라라키는 선거 결과가 국민의 의견을 정확하게 반영하고 있는지를 조사하려는 목적으로 투표소를 나오는 유권자들에게 경선에 나선 9명의 후보에게 좋음, 보통 나쁨으로 등급을 매겨달라고 했다. 결과는 매우 뜻밖으로 가장 좋은 평가를 받은 후보는 경선에서 3등으로 탈락한 프랑수아 바이루였다. <br/><br/>이 황당한 결과를 어떻게 납득할 수 있을까? 현재 벌어지고 있는 선거에서도 같은 역설이 존재하고 있는 것은 아닐까? 더 놀라운 점은 이 조사 결과가 의미하는 문제, 즉 선거가 오히려 대의민주주의의 가장 선한 가치를 왜곡하고 있다는 역설을 둘러싼 논쟁이 최근 몇 년 사이에 벌어진 새로운 것이 아니라는 사실이다. 이상과 가치관이 집약된 정치제도를 현실에 적용시키는 과정에서 현실과의 괴리가 보이는 것은 당연하다. 하지만 이 민주주의를 성립시키는 핵심 제도인 선거에서 발생한 문제는 수학자들마저 정치에 관심 갖게 만들고야 말았다. <br/><br/><B>어떻게 해야 소수 의견을 합리적으로 반영할 수 있는가? <br/>어느 누구도 불만 갖지 않을 선거 제도를 찾아야 한다! </b><br/> <br/>한때, 가수들이 나와 가창력을 겨루고 청중투표단을 통해 매주 탈락자를 가리는 예능 프로그램 『나는 가수다』에서 탈락자 선정 방식을 두고 시청자들끼리 논쟁이 벌어진 적이 있었다. 탈락자가 발표될 때마다 결과를 납득하지 못한 시청자들은 프로그램의 진행 방식을 꼬집었다. 중복 투표를 허용하자는 의견이나, 청중투표단이 1위를 선택하는 것이 아니라 꼴찌를 선택하도록 투표 방식을 변경해야 한다는 내용까지, 그들 제안의 일부는 꽤 전문적이어서 기사로 나갈 정도였다. 탈락자 선정 방식에 대한 논쟁은 프로그램, 혹은 탈락한 가수들의 인기만큼 네티즌들 사이에서 한동안 뜨겁게 달아올랐다. <br/><br/>재미있는 것은 그때 가수들 순위를 매기는 방식을 시청자들이 다양하게 제시하고 이를 두고 갑론을박한 과정이 민주주의가 발전해온 과정과 닮아 있다는 점이다. 민주주의 국가에서 선거 제도가 지닌 문제들은 우리 주변에도 산적해 있다. 투표가 그렇게 중요하다면 왜 의무로 지정하지 않는가? 비례대표제를 통해 전국구 의원을 뽑을 때 각 지역에 퍼져 사는 소수 정당 지지자들의 표는 그들의 존재 여부와 상관없이 투표 절차 때문에 사표(死表)가 되는 것이다. 소수 정당을 지지하는 사람들끼리 한 지역에 모여서 거주한다면 오히려 의석을 확보할 수 있었다. <br/><br/> 위에서 알 수 있듯이, 수백 년간 세계 정치의 근간이 되어온 민주주의 제도와 절차에 결함이 있다고 말하면 아마도 많은 사람들이 놀랄 것이다. 한 사람이 1표만을 행사할 수 있는 평등한 제도라는 인식이 큰 작용을 했을 것이다. 그러나 민주주의의 절차는 종종 납득이 되지 않는 결론을 도출하곤 한다. 수학자이자 칼럼니스트로 활동하고 있는 조지 슈피로는 많은 자료 조사와 비교 과정을 통해 각종 선거 제도가 지니고 있는 수학적인 오류를 기술한 책을 펴냈다. 이 책은 민주주의의 가장 소중한 절차, 즉 투표와 선거에 내재된 문제가 어떻게 민주주의를 위협하고 있는지에 관한 역사적 고찰이자 해석이다. <br/><br/><B>플라톤부터 현재까지 민주주의를 괴롭히는 수학의 역설!<br/>민주주의는 이상과 현실의 괴리를 좁혀 가는 시도로부터 완성된다!</b><br/> <br/> 이야기는 2,500년 전으로 거슬러 올라가 고대 그리스 시대의 철학자 플라톤으로 시작한다. 플라톤은 중우정치를 혐오해 민주주의를 경계했던 인물로 잘 알려져 있다. 플라톤에게 있어, 민주주의가 들어선다는 건 절대로 바람직한 결과가 아니었다. 교육을 받지 못한, 국정운영에 적합하지 못한 일반 대중이 정치에 참여하게 되면 전혀 경험도 없고 알지도 못하는 사안에 대해서도 모두가 투표로 자신의 발언권을 행사하려 할 것이다. 플라톤은 고민 끝에 투표기간을 길게 정함으로써 일터에 나가지 않아도 되는, 즉 삶의 여유가 있는 지도층 외에 서민의 투표권 행사가 자연스럽게 줄어들 방안을 고안해내기에 이른다. <br/><br/>프랑스 혁명기에는 ‘콩도르세의 역설’이 발표됨으로써 민주주의가 한 단계 진일보하는 계기가 되었다. 18세기 프랑스 귀족인 장-마리 마르키 드 콩도르세 후작의 이름을 딴 이 역설은, 우리가 오래전부터 소중하게 여겨온 가치인 ‘다수결’이 아주 역설적인 상황을 야기한다는 점을 잘 보여준다. 이 콩도르세의 역설은 단순히 소수 의견이 더 옳을 수도 있다는 의미 외에 다수결 자체가 가지고 있는 치명적인 오류를 제시한다. 이 난제가 약 200년에 걸쳐 수학자, 통계학자, 정치과학자, 경제학자 들을 괴롭혀왔지만 안타깝게도 여전히 해결책은 나오지 않았다. <br/><br/>민주주의의 문제들은 지금도 끊임없이 지적되고 있다. 20세기 중반에 노벨상을 수상한 케네스 애로는 선거의 역설이 피할 수 없는 문제이고, 단 하나의 투표방식을 제외하곤 모든 투표방식에 문제가 있다는 사실을 증명해냈다. 설상가상으로 몇 년 뒤에는 앨런 기버드와 마크 새터스웨이트 역시 단 하나의 경우를 제외하곤 모든 투표방식이 선거조작으로부터 자유롭지 못하다는 사실을 입증했다. 이 결과들이 말해주는 무엇보다 불행한 점은 선거의 역설과 불일관성, 선거조작의 문제로부터 자유로운 유일한 정치방식이 바로 독재라는 사실이다. <br/><br/>이 책은 민주주의가 시작된 시대로부터 지금에 이르기까지 어떻게 민주주의가 완성되었는지를 역사적으로 서술하는 데 그치지 않고 그 시대가 요구하고 있던 가치와 이상향을 어떻게 현실에 적용하고 제도로써 실현해 왔는지를 보여주는 책이다. 역사를 바꿔 놓았던 극적인 순간들은 물론이고 그 과정에서 벌어진 수학자들의 격렬한 논쟁과 흥미 만점의 배경지식까지 다루고 있어 한 페이지도 그냥 넘길 수 없다. 이 책은 독자들에게 미완의 민주주의가 제 모습을 찾기까지의 과정들을 들려주면서 자연스레 자신이 행사한 한 표의 가치를 상기시켜 준다. 그리고 유권자들이 투표의 가치와 맹점에 대해 제대로 알게 될 때 비로소 선거의 역설은 해결되기 시작할 것이다. 그리고 이것이야말로 기우뚱한 채 남아 있는 민주주의를 바로세우는 데 가장 ‘민주주의다운’ 해법이 아니겠는가?

‘가장 많은 국민이 선호하는 후보는 누구인가?’ 이 단순한 질문에 대한 대답은 뜻밖에도 ‘당선자가 아닌 제3의 후보’다. 이 책에서 조지 슈피로는 역사와 인물, 정치적 음모를 곁들여가면서 가장 공정한 투표를 찾아가는 여정을 아주 흥미롭게 들려준다. 오류로 점철된 우리의 선거절차에 관심이 있다면 꼭 읽어봐야 할 책이다.
윌리엄 파운드스톤 (『투표게임: 선거가 공정하지 않은 이유』 저자)

평범한 독자들을 상대로 민주주의의 역사와 선거 절차를 논하는 책을 쓰기란 결코 쉽지 않다. 하지만 슈피로는 이 일을 멋지게 해냈다. 전문용어를 배제하면서 동시에 그 분야에서 가장 중요한 학자들과 연구결과만을 중점적으로 다뤘다. 이 책은 그동안 부족했던 민주적 선거절차에 대한 논의의 부재를 단번에 충족시키는 중요한 책이다.
한누 누르미 (『신뢰할 수 없는 투표절차』 저자)

이 책은 민주주의, 투표 및 선거에 관한 수학이론, 그리고 의석배정 방식을 발전시켜온 중요 인물들의 이야기를 다룬다. 슈피로는 특히나 민주주의 선거에 뒤따를 수밖에 없는 선거의 역설에 집중하면서, 그 내용을 아주 쉽고 명료하게 설명하고 있다.
스티븐 J. 브람스 (뉴욕대 교수, 게임이론 전문가)

슈피로가 들려주는 이야기는 흥미로우면서 동시에 매우 의미심장하다. 이 책의 가장 백미는 민주주의와 선거에 대한 자세한 역사적 고찰을 다룬 부분이다. 철저한 자료조사를 바탕으로 쓴 각각의 에피소드는 페이지를 넘길 때마다 흡입력을 더한다. 한마디로 독자들이 푹 빠지게 만들 책이다.
앨런 D. 테일러 (『수학과 정치』 공저자)